In secolul XII, Leonardo Fibonacci a descoperit o serie simpla, ce se dezvolta pornind de la 0 si 1, succesiv urmate apoi de cate un numar ce reprezinta suma celor doua imediat anterioare: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 …. Conform regulii enuntate de formare, numerele din sirul lui Fibonacci se calculeaza astfel : 1 = 1 + 0, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2, 8 = 5 + 3…

Spre ce tinde raportul dintre orice numar si cel imediat anterior? 5 / 3 = 1.666, 8 / 5 = 1.60, iar dupa al 40-lea numar se ajunge la 1.618033988749895… Deci limita spre infinit a acestei proportii nu e alta decat PHI!

Bazat pe aceeasi regula simpla, sa cream o alta serie asemanatoare, pornind de asta data de la primele doua numere conjugatul lui PHI (0.6180) si 1. Oricare numar urmator va fi generat prin suma celor doua precedente: 0.6180339887…, 1, 1.6180339887… , 2.6180339887… Inmultiti acum oricare din aceste numere cu Ф (adica 1.6180339887…) si veti obtine surprinzator urmatorul numar din serie!

Un calcul simplu arata ca valoarea altei serii : Radical(1+ Radical(1+ Radical(1+ Radical(1+ …))) tinde de asemenea spre Ф.

Fara alte detalii, sa mentionez si legatura ciudata (matematic demonstrabila) a acestui Ф cu alte numere irationale “celebre”, precum Ф = (7/5) * pi / e si Ф = 2 * cos(pi / 5).

S-a aratat deja implicatia numarului 5 in calculul valorii lui PHI. In diviziunile create in interiorul unui pentagon se poate regasi aceeasi constanta magica:

Considerati un dreptunghi ale carui laturi B si C pastreaza proportia PHI. Unind capetele opuse ale dreptunghiurilor interioare obtinute prin diviziuni in PHI din interiorul unui asemenea grid initial, obtinem o spirala logaritmica echiangulara, o forma interesanta, gasita iarasi frecvent in natura (dupa cum se va vedea):

Alte proprietati matematice ale numarului PHI pot fi eventual gasite la pagina Phi and Mathematics.

Cum se masoara in practica “proportia divina“? Sa construim doua instrumente de masura a proportiei PHI, pe care le vom utiliza mai tarziu in ilustrarea multiplelor cazuri concrete din jurul nostru : o rigla bidimensionala si un grid bidimensional. Pe segmentul de dreapta divizat anterior in B si C, in raportul PHI, considerand C egal cu unitatea, diviziunea B va avea valoarea lui PHI, adica 1.618… Divizand din nou B in aceeasi proportie “divina”, si tot asa cu urmatorul segment unitar, obtinem diviziuni asemanatoare celor din figura :

Suprapunand una peste alta diviziunile obtinute, putem obtine o “rigla” colorata, de genul celei de mai jos:

E demonstrabil matematic ca lungimea fiecarui segment este egala cu lumgimea celor doua segmente mai scurte imediat anterioare. Lungimile acestor diviziuni sint deci proportionale cu numerele sirului lui Fibonacci!

De la unidimensional se poate trece simplu la bidimensional, divizand continuu laturile unui dreptunghi in altele mai mici, dupa raportul in PHI. Gridul obtinut poate arata ca aici:

Voi folosi in reprezentarile de mai tarziu atat rigla, cat si gridul, pentru ilustrarea “proportiei divine” a lui PHI in situatiile cele mai nebanuite din existenta noastra si a mediului inconjurator.

• Numarul PHI – La corpul si persoana umana
• Numarul PHI – In natura si intregul univers
• Numarul PHI – In arta si creatie
• Numarul PHI – Divina proportie